一根针转身有多难？她解开了困扰数学界百年难题

四年一度的国际数学家大会7月23日在美国费城开幕。大会公布2026年菲尔兹奖四位得主，其中包括王虹（Wang Hong）。她成为菲尔兹奖近90年历史上的第三位女性得主，也与邓煜一道成为首批获此荣誉的中国籍数学家。

王虹1991年出生于广西桂林。桂林山水以奇峰、曲水和层层展开的空间闻名：山峰从平地突起，江水在石壁间回旋，远近景物随视线改变。我们无法断言这片山水塑造了她日后的数学道路，但从桂林走到研究空间、线条与尺度的数学前沿，本身就是一个富有诗意的巧合。

王虹毕业于北京大学数学系，随后赴法国和美国深造，2019年在麻省理工学院取得博士学位。2025年，她与加拿大数学家扎尔（Joshua Zahl）证明三维挂谷猜想，解决了现代分析学中延续数十年的重大难题。

1917年，日本数学家挂谷宗一提出：在平面上放一根长度为1的针，怎样移动它，才能让针转过半圈，同时使扫过的面积最小？

最直接的方法，是让针绕中点旋转，扫出一个圆。后来，俄国数学家别西科维奇（Abram Besicovitch）证明，只要让针不断平移、错位和转向，像进行复杂的“平行泊车”，它便能在面积任意小的区域中完成掉头。

数学家随后把问题推广成“挂谷集”：一个集合只要包含每一个方向上的一条单位线段，就可称为挂谷集。令人惊讶的是，这样的集合面积甚至可以等于零。

面积为零，并不表示里面什么也没有。挂谷集仍包含无穷多个点和无穷多条线，只是它们精巧地交错重叠，使普通面积已不足以描述其复杂程度。数学家因此借助“维数”。直线是一维，平面是二维，但像雪花结构的分形几何的维数不一定是整数。挂谷集的体积虽然可以为零，维数却必须是完整的三维。

这种“体积消失，维数不减”的现象，有一种近乎山水画的美感。中国画中的远山有时只留下淡淡墨痕，大片纸面保持空白，但空间感并未消失；虚实相生，空白也参与构成完整的天地。挂谷集同样告诉我们：没有被填满，不等于没有完整的空间结构。二维挂谷猜想早已解决，三维情形却长期悬而未决。几十年来，数学家只能一点一点提高维数下限。

2025年，王虹与扎尔终于证明，无论线段怎样交错、重叠，三维挂谷集的维数都必定等于三。王虹的工作位于几何与分析的交界。几何关心形状、方向和空间结构；分析研究连续变化、大小估计与极限过程。几何让人“看见”问题，分析则把直觉变成可以检验的证明。如果说几何像观察桂林山峰怎样错落、江水如何转弯，那么分析就像追问：尺度不断缩小后，原来的结构还留下多少？无数条线聚集时，它们究竟占据多大的空间？

她研究细长管状区域重叠后形成的微小“颗粒”，证明这些颗粒不能无限制地堆积。他们从已有下限出发，逐步推出更高的下限，最终抵达完整的三维。这种证明之美，在于结构层层展开。每一步看似只前进一点，却会改变下一步能够看见的景色，如同沿山路攀登：转过一道弯，新的山峰出现；再上一级，分散的路径忽然连成完整地形。

王虹并不只生活在公式和黑板之间。她曾对建筑和绘画感兴趣，在纽约工作时也喜欢走进植物园。植物园或许正是理解数学美感的另一个入口。一片叶子的脉络不断分叉，花瓣沿中心排列，藤蔓以螺旋方式攀升，树冠在有限空间中伸展出复杂形态。自然界很少画出教科书般完美的圆和直线，却不断在不规则中呈现秩序，在变化中保留结构。几何研究这些形态如何占据空间，分析则研究它们怎样连续变化。一朵花、一片叶与一组公式当然不是同一回事，但都让人感受到：复杂并非混乱，变化也并非没有规律。

挂谷问题也早已不只是几何游戏。光波、声波或量子波的传播，可以想象成许多朝不同方向延伸的细管。它们怎样聚集、交叉和扩散，与挂谷集中的线段怎样重叠密切相关。因此，证明挂谷猜想，也会推动调和分析和波动方程等领域。

人工智能正在进入数学研究。它可以检索文献，尝试方案，检查证明，却未必知道哪一座山值得攀登；可以生成证明，却未必理解一根普通的针，为什么会牵动整个数学世界。

从桂林山水到纽约植物园，从一片叶脉到三维空间里交错的线段，王虹的故事提醒我们：数学并非只有冰冷的数字。它也是观看世界的一种方式——在复杂中辨认秩序，在变化中寻找不变，在几乎空无一物的地方，看见完整的空间。

工具会改变，算力会增长，证明也可能越来越自动化。但好奇心使人提出问题，审美让人辨认值得追寻的结构，坚持则使人继续前行。或许，数学真正动人的地方，正是它让我们在抽象世界里，再次看见山水、花木与空间的深层秩序。